月份:2017年8月


2017Balkan MO-1


求所有的有序正整数对(x, y)使得:

    \[x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.\]

2016/2017英国数学奥林匹克第1轮


2016/2017英国数学奥林匹克第1轮

第1题. 列出1\sim 2016十进制整数, 每个恰好出现一次, 0\sim 9每个数字被列出多次. 列出的数中数字是奇数的有多少个?

例如在1, 2, 3, \cdots, 11中出现了8个奇数字.

第2题. 对每个正实数x, 定义\{x\}x\displaystyle\frac{1}{x}中的较大数. 求并证明满足

    \[5y\{8y\}\{25y\}=1\]

的所有正实数y.

第3题. 求满足方程

    \[n^2-6n=m^2+m-10\]

的所有正整数对(m, n).

第4题. 娜奥米和汤姆做游戏, 娜奥米首先开始, 他们轮流从1\sim 100中选取一个整数, 选过的数不能再选. 某人选取数之后, 若两人所有选取的数之和不能写成两个完全平方数之差时, 就认定此人失败. 问谁有必胜策略, 并说明原因.

第5题. \triangle ABC中, \angle A<\angle B<90^{\circ}, 设\Gamma是其外接圆. 圆\GammaA, C的切线交于P. 线段AB, PC的延长线交于Q. S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BQC}. 求证: \angle BCA=90^{\circ}.

第6题. 连续正整数m, m+1, m+2m+3分别能被连续正奇数n, n+2, n+4n+6整除. 求m的最小可能值.