2017年8月 – 数学望远镜

第5题. $\triangle ABC$ 中, $\angle A<\angle B<90^{\circ}$ , 设 $\Gamma$ 是其外接圆. 圆 $\Gamma$ 过 $A$ , $C$ 的切线交于 $P$ . 线段 $AB$ , $PC$ 的延长线交于 $Q$ . $S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BQC}$ . 求证: $\angle BCA=90^{\circ}$ .

第6题. 连续正整数 $m$ , $m+1$ , $m+2$ 和 $m+3$ 分别能被连续正奇数 $n$ , $n+2$ , $n+4$ 和 $n+6$ 整除. 求 $m$ 的最小可能值.

2014USAMTS-R1-1

2017年8月5日

数论

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求所有的三元数组 $(x, y, z)$ , 使得 $x$ , $y$ , $z$ , $x-y$ , $y-z$ , $z-x$ 均为质数.

2017加拿大数学奥林匹克

第1题. 已知 $a$ , $b$ , $c$ 是互异非负实数, 求证:

$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(b-a)^2}>2.$

第2题. 定义函数 $f(n):\mathbb{N}_+\to\mathbb{N}_+$ , $f\big(f(n)\big)$ 是 $n$ 的正约数的个数.

求证: 若 $p$ 是质数, 则 $f(p)$ 也是质数.

第3题. 已知集合 $S_n=\{1, 2, \cdots, n\}$ , $T_n$ 是 $S_n$ 的一个非空子集, 若 $T_n$ 的元素的平均数等于 $T_n$ 的中位数, 则称 $T_n$ 是“平衡的”. 求证: 对所有正整数 $n$ , “平衡”子集 $T_n$ 的个数是奇数.

第4题. 已知 $ABCD$ 是平行四边形, 点 $P$ , $Q$ 位于其内部, 使得 $\triangle ABP$ 和 $\triangle BCQ$ 是等边三角形. 求证: 过 $P$ 且垂直于 $PD$ 的直线与过 $Q$ 且垂直于 $DQ$ 的直线的交点位于 $\triangle ABC$ 过 $B$ 的高线上.

第5题. 平面上放置了100个单位圆, 其中任意三个圆的圆心为顶点所构成的三角形的面积都不大于2017. 证明: 存在一条直线, 它至少与其中的三个圆相交.

2017中国北方希望之星数学邀请赛第一天第4题

将一个正2017边形用它的2014条在内部不相交的对角线划分成2015个三角形区域. 求这2015个三角形中等腰三角形个数的最大可能值.

2017中国北方希望之星数学邀请赛第一天第3题

给定正整数 $n\ge 2$ . 已知非负实数 $\newcommand*{\anvec}[2]{\ensuremath{{#1}_1, {#1}_2, \cdots, {#1}_{#2}}} \anvec a{n}$ 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$ . 求 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+\sqrt{a_1 a_2 \cdots a_n}$ 的最大值.