2017年8月 – 数学望远镜

月份：2017年8月

2017Balkan MO-1

2017年8月7日

求所有的有序正整数对 $(x, y)$ 使得:

$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.$

2016/2017英国数学奥林匹克第1轮

2017年8月6日

代数, 几何, 数论, 组合

2016/2017英国数学奥林匹克第1轮

第1题. 列出 $1\sim 2016$ 十进制整数, 每个恰好出现一次, $0\sim 9$ 每个数字被列出多次. 列出的数中数字是奇数的有多少个?

例如在 $1, 2, 3, \cdots, 11$ 中出现了8个奇数字.

第2题. 对每个正实数 $x$ , 定义 $\{x\}$ 是 $x$ 与 $\displaystyle\frac{1}{x}$ 中的较大数. 求并证明满足

$5y\{8y\}\{25y\}=1$

的所有正实数 $y$ .

第3题. 求满足方程

$n^2-6n=m^2+m-10$

的所有正整数对 $(m, n)$ .

第4题. 娜奥米和汤姆做游戏, 娜奥米首先开始, 他们轮流从 $1\sim 100$ 中选取一个整数, 选过的数不能再选. 某人选取数之后, 若两人所有选取的数之和不能写成两个完全平方数之差时, 就认定此人失败. 问谁有必胜策略, 并说明原因.

第5题. $\triangle ABC$ 中, $\angle A<\angle B<90^{\circ}$ , 设 $\Gamma$ 是其外接圆. 圆 $\Gamma$ 过 $A$ , $C$ 的切线交于 $P$ . 线段 $AB$ , $PC$ 的延长线交于 $Q$ . $S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BQC}$ . 求证: $\angle BCA=90^{\circ}$ .

第6题. 连续正整数 $m$ , $m+1$ , $m+2$ 和 $m+3$ 分别能被连续正奇数 $n$ , $n+2$ , $n+4$ 和 $n+6$ 整除. 求 $m$ 的最小可能值.