日期:2017年10月2日


20170930-2


20170930-2

如下图, PA\odot OA, AB\perp OPB. C\odot O上一点, 且AC=AB. PC\odot O于另一点M. 求证: AM=BM.

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证明: (张若祺)如下图, 连OA, OC. 因为\triangle PCA\backsim \triangle PAM, 所以

    \[\dfrac{PA}{PM}=\dfrac{AC}{MA}. \qquad\qquad (1)\]

由切割线定理, 得PA^2=PM\cdot PC. 由射影定理, 得PA^2=PB\cdot PO.

所以PM\cdot PC=PB\cdot PO. 故\triangle PMB\backsim \triangle POC. 所以

    \[\dfrac{PM}{PO}=\dfrac{MB}{OC}. \qquad\qquad (2)\]

(1), (2)两式相乘, 得

    \[\dfrac{PA}{PO}=\dfrac{AC}{OC}\cdot \dfrac{MB}{MA}.\]

又因为AB=AC, AO=OC, 所以

    \[\dfrac{PA}{PO}=\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AC}{OC}.\]

从而MB=MA.

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20170930-1


20170930-1

如图, NS是圆O的直径, 弦AB\perp NSM, P为弧ANB上异于N的任一点,PSABR, PM的延长线交圆OQ. 求证: RS>MQ.

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证明: (法一)如下图, 连QNABT, 连QS, ST.

因为\angle NQS=\angle AMS=90^{\circ}, 所以T, Q, S, M四点共圆.

所以\angle PSN=\angle NQP=\angle TSN. 而AB\perp NS, 所以\triangle SRT是等腰三角形.

而在TQSM的内接圆中, ST是直径, MQ是非直径的弦, 所以RS=ST>MQ.

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证明: (法二)(张若祺)如下图, 连NR并延长交\odot OT, 连TS, NP.

因为NS是直径, 所以\angle NPS=90^{\circ}. 又AB\perp NS, 所以N, M, R, P四点共圆.

所以\angle SNT=\angle QPS. 所以弧{QS}=TS. 所以QT关于\odot O直径NS对称.

M是对称轴NS上的点, 所以MQ=MT.

因为\angle BMS=\angle NTS=90^{\circ}, 所以M, R, T, S四点共圆.

在四边形MRTS的外接圆中, RS是直径, MT是非直径的弦, 所以RS>MT=MQ.

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