日期:2017年10月6日


20171002-2


20171002-2:

设集合S包含{{n}^{2}}+n-1个元素, 其中n是正整数. 将Sn元子集任意划分为两组. 求证: 某一组中至少有n个两两不交的集合.

(尚未收到解答. 等待几天再上传答案. )

20171002-1


20171002-1:

2n名选手参加象棋循环赛, 每一轮中每个选手与其它2n-1人各赛一场, 胜得1分, 平各得\dfrac{1}{2}分, 负得0分. 已知每个选手第一轮总分与第二轮总分至少相差n分. 求证: 每个选手两轮总分恰好相差n分.

(尚未收到解答. 等待几天再上传答案. )

20171001-2


20171001-2:

如下图, PA\odot OA, AB\perp OPB. C\odot O上一点, PC\odot O于另一点M. 求证: AB^2=BM\cdot BC.

Rendered by QuickLaTeX.com

证明: (法一) (此法属于张若祺, 宋业鑫, 张博涵. 宋业鑫表达较粗糙, 张博涵表达最详细) 如下图, 连OA, OC.

分别由切割线定理与射影定理, 得PA^2=PC\cdot PM, PA^2=PO\cdot PB.
所以PC\cdot PM=PO\cdot PB.

所以\triangle PMB\backsim\triangle POC, 且M, C, O, B四点共圆.
所以\angle PMB=\angle POC. (1)

因为\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{OC}{OP}, 所以\triangle BOC\backsim\triangle COP. 所以\angle BCO=\angle CPO. (2)

(1), (2)\triangle PMB\backsim \triangle COB. 所以PB\cdot OB=BM\cdot BC.

又因为AB^2=PB\cdot OB, 所以AB^2=MB\cdot MC.

Rendered by QuickLaTeX.com

证明: (法二) 分别由切割线定理与射影定理, 得PA^2=PM\cdot PC, PA^2=PB\cdot PO.

所以PM\cdot PC=PB\cdot PO. 所以O, B, M, C四点共圆.

如下图, 延长BA交四边形OBMC的外接圆于Q, 连OM, OC, QC.

所以\angle PBM=\angle PCO=\angle CMO=\angle CBO. 进而\angle MBA=\angle ABC. (1)

\angle OCQ=\angle OBQ=90^{\circ}, 知QC\odot O的切线.

所以\angle AMB=\angle AMC+\angle BMC=\angle ACQ+\angle BQC=\angle CAB. (2)

(1), (2), 得\triangle MBA\backsim \triangle ABC. 所以AB^2=MB\cdot BC.

Rendered by QuickLaTeX.com