月份:2017年11月


第15届中环杯八A决赛-6


问题: 已知x, y为正实数, 满足x^2-xy+2y^2=8, 求x^2+xy+2y^2的最大值.

解答: 因为8=x^2-xy+2y^2=(x-\sqrt{2}y)^2-(1-2\sqrt{2})xy,

所以8\geqslant (2\sqrt{2}-1)xy. 即xy\leqslant \dfrac{8}{2\sqrt{2}-1}.

所以x^2+xy+2y^2=8+2xy\leqslant 8+\dfrac{16}{2\sqrt{2}-1}=\dfrac{72+32\sqrt{2}}{7}.

华杯教练员测试题


问题: 一个自然数的平方的末三位数恰好是169,则称这类数为“优越数”。将“优越数”从小到大排列,请问前2017个“优越数”的和是多少?

解答: 因为这个数的平方数个位数字为9, 所以原数的个位数字为37.

设原数为10k_1+3, 或10k_2+7, 则(10k_1+3)^2=100k_1^2+60k_1+9, (10k_2+7)^2=100k_2^2+140k_2+49.

结合平方数的十位数字为6, 即6k_1的个位数字为6, 得k_1的个位数字为16; 或4k_2+4的个位数字为6, 得k_2的个位数字为38. 因此可设

    \[\begin{aligned} &\big[10(10t_1+1)+3\big]^2=(100t_1+13)^2=10000t_1^2+2600t_1+169, \\ &\big[10(10t_2+6)+3\big]^2=(100t_2+63)^2=10000t_2^2+12600t_2+3969, \\ &\big[10(10t_3+3)+7\big]^2=(100t_3+37)^2=10000t_3^2+7400t_3+1369, \\ &\big[10(10t_4+8)+7\big]^2=(100t_4+87)^2=10000t_4^2+17400t_4+7569.  \end{aligned}\]

结合平方数的百位数字为1, 即6t_1+1的个位数字为1, 得t_1的个位数字为05; 或6t_2+9的个位数字为1, 得t_2的个位数字为27; 或4t_3+3的个位数字为1, 得t_3的个位数字为27; 或4t_4+5的个位数字为1, 得t_4的个位数字为49. 因此可设

    \[\begin{aligned} &100t_1+13=100\cdot 10n+13\;\rm{or}\;100\cdot (10n+5)+13=1000n+13\;\rm{or}\; 1000n+513, \\ &100t_2+63=100\cdot (10n+2)+63\;\rm{or}\; 100\cdot (10n+7)+63=1000n+263\;\rm{or}\; 1000n+763, \\ &100t_3+37=100\cdot (10n+2)+37\;\rm{or}\; 100\cdot (10n+7)+37=1000n+237\;\rm{or}\; 1000n+737, \\ &100t_4+87=100\cdot (10n+4)+87\;\rm{or}\; 100\cdot (10n+9)+87=1000n+487\;\rm{or}\; 1000n+987.  \end{aligned}\]

又因为2017=8\times 252+1, 所以前2017个“优越数”的和是

    \[\begin{aligned} &\quad\,\sum_{n=0}^{251}\big[8\times 1000n+(13+513+263+763+237+737+487+987)\big]+1000\times 252+13\\ &=\sum_{n=0}^{251}(8000n+4000)+252013=8000\times \frac{251\times 252}{2}+4000\times 252+252013\\ &=254268013. \end{aligned}\]