2017年11月 – 数学望远镜

问题: 一个自然数的平方的末三位数恰好是 $169$ ，则称这类数为“优越数”。将“优越数”从小到大排列，请问前 $2017$ 个“优越数”的和是多少？

解答: 因为这个数的平方数个位数字为 $9$ , 所以原数的个位数字为 $3$ 或 $7$ .

设原数为 $10k_1+3$ , 或 $10k_2+7$ , 则 $(10k_1+3)^2=100k_1^2+60k_1+9$ , $(10k_2+7)^2=100k_2^2+140k_2+49$ .

结合平方数的十位数字为 $6$ , 即 $6k_1$ 的个位数字为 $6$ , 得 $k_1$ 的个位数字为 $1$ 或 $6$ ; 或 $4k_2+4$ 的个位数字为 $6$ , 得 $k_2$ 的个位数字为 $3$ 或 $8$ . 因此可设

$\begin{aligned} &\big[10(10t_1+1)+3\big]^2=(100t_1+13)^2=10000t_1^2+2600t_1+169, \\ &\big[10(10t_2+6)+3\big]^2=(100t_2+63)^2=10000t_2^2+12600t_2+3969, \\ &\big[10(10t_3+3)+7\big]^2=(100t_3+37)^2=10000t_3^2+7400t_3+1369, \\ &\big[10(10t_4+8)+7\big]^2=(100t_4+87)^2=10000t_4^2+17400t_4+7569. \end{aligned}$

结合平方数的百位数字为 $1$ , 即 $6t_1+1$ 的个位数字为 $1$ , 得 $t_1$ 的个位数字为 $0$ 或 $5$ ; 或 $6t_2+9$ 的个位数字为 $1$ , 得 $t_2$ 的个位数字为 $2$ 或 $7$ ; 或 $4t_3+3$ 的个位数字为 $1$ , 得 $t_3$ 的个位数字为 $2$ 或 $7$ ; 或 $4t_4+5$ 的个位数字为 $1$ , 得 $t_4$ 的个位数字为 $4$ 或 $9$ . 因此可设

$\begin{aligned} &100t_1+13=100\cdot 10n+13\;\rm{or}\;100\cdot (10n+5)+13=1000n+13\;\rm{or}\; 1000n+513, \\ &100t_2+63=100\cdot (10n+2)+63\;\rm{or}\; 100\cdot (10n+7)+63=1000n+263\;\rm{or}\; 1000n+763, \\ &100t_3+37=100\cdot (10n+2)+37\;\rm{or}\; 100\cdot (10n+7)+37=1000n+237\;\rm{or}\; 1000n+737, \\ &100t_4+87=100\cdot (10n+4)+87\;\rm{or}\; 100\cdot (10n+9)+87=1000n+487\;\rm{or}\; 1000n+987. \end{aligned}$

又因为 $2017=8\times 252+1$ , 所以前 $2017$ 个“优越数”的和是

$\begin{aligned} &\quad\,\sum_{n=0}^{251}\big[8\times 1000n+(13+513+263+763+237+737+487+987)\big]+1000\times 252+13\\ &=\sum_{n=0}^{251}(8000n+4000)+252013=8000\times \frac{251\times 252}{2}+4000\times 252+252013\\ &=254268013. \end{aligned}$

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