2017年11月 – 数学望远镜

月份：2017年11月

问题: 已知 $x$ , $y$ 为正实数, 满足 $x^2-xy+2y^2=8$ , 求 $x^2+xy+2y^2$ 的最大值.

解答: 因为 $8=x^2-xy+2y^2=(x-\sqrt{2}y)^2-(1-2\sqrt{2})xy$ ,

所以 $8\geqslant (2\sqrt{2}-1)xy$ . 即 $xy\leqslant \dfrac{8}{2\sqrt{2}-1}$ .

所以 $x^2+xy+2y^2=8+2xy\leqslant 8+\dfrac{16}{2\sqrt{2}-1}=\dfrac{72+32\sqrt{2}}{7}$ .

求证: 方程 $x^4+y^3=z!+7$ 有无数个正整数解.