日期:2017年11月26日


第15届中环杯八A决赛-6


问题: 已知x, y为正实数, 满足x^2-xy+2y^2=8, 求x^2+xy+2y^2的最大值.

解答: 因为8=x^2-xy+2y^2=(x-\sqrt{2}y)^2-(1-2\sqrt{2})xy,

所以8\geqslant (2\sqrt{2}-1)xy. 即xy\leqslant \dfrac{8}{2\sqrt{2}-1}.

所以x^2+xy+2y^2=8+2xy\leqslant 8+\dfrac{16}{2\sqrt{2}-1}=\dfrac{72+32\sqrt{2}}{7}.