月份:2017年12月


第23届华杯初二初赛题10


问题: [a]表示不大于a的最大整数, 例如[3.2]=3, [-3.4]=-4, \Big[\sqrt{2}\Big]=1, 计算
\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 0+9}}{10}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 1+9}}{10}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 2+9}}{10}\Bigg]+\cdots+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 2018+9}}{10}\Bigg]等于________.

解答: 填17511.

首先考虑10n+9是完全平方数时, \sqrt{10n+9}的个位数字是3或7, 并且可以取到\sqrt{10\times 0+9}\sqrt{10\times 2018+9}之间的所有个位数字为3或7的正整数: 3, 7, 13, 17, 23, 27, \cdots, 133, 137.

注意到\dfrac{-3+3}{10}=0, \dfrac{-3+13}{10}=1, \cdots, \dfrac{-3+133}{10}=13, 后一项比前一项增加\dfrac{10}{10}=1.

10n+9=(10k+3)^2, 则n=10k^2+6k. 记为n_k=10k^2+6k, 则n_{k+1}-n_k=20k+16. 所以

    \[\begin{aligned} &\quad\,\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 0+9}}{10}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 1+9}}{10}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 2+9}}{10}\Bigg]+\cdots+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 2018+9}}{10}\Bigg]\\ &=\sum_{k=0}^{12} k\times (20k+16)+13\times (2018-10\times 13^2-6\times 13+1)\\ &=20\sum_{k=1}^{12} k^2+16\sum_{k=1}^{12} k+13\times 251\\ &=13\times 1347\\ &=17511. \end{aligned}\]

第23届华杯初二初赛题9


问题: p是小于1000的质数, 且2p+1=m^n, 其中n, m都是大于1的自然数, 求p的值.

解答: 由题意, 易知m是大于1的奇数, 且p是奇质数.

(情形一) 当奇数m=3时, 2p=3^n-1=2(3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+3+1).

所以p=3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+3+1<1000. 从而n-1\leqslant 5. 故1<n\leqslant 6.

\dfrac{3^6-1}{2}=364, \dfrac{3^5-1}{2}=121, \dfrac{3^4-1}{2}=40, \dfrac{3^3-1}{2}=13, \dfrac{3^2-1}{2}=4, 中, 仅有p=13是质数.

(情形二) 当奇数m\geqslant 5时, 2p=m^n-1=(m-1)(m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1).

所以p=\dfrac{m-1}{2}\cdot (m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1).

但整数\dfrac{m-1}{2}>1, m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1>1, 故p不是质数. 此时无解.

综上, p=13.