20171207-1


问题: 已知\triangle  ABC的三边长分别为13, 14, 15. 有4个半径同为r的圆O, O_1, O_2, O_3放在\triangle  ABC内, 并且圆O_1与边AB, AC相切, 圆O_2与边BA, BC相切, 圆O_3与边CB, CA相切, 圆O与圆O_1, O_2, O_3相切. 求r.

Rendered by QuickLaTeX.com

解答: 如图.

由海伦公式, 得S_{\triangle  ABC}=2^2\times 3\times 7.

进而由S_{\triangle  ABC}=\dfrac{abc}{4R}, 得\triangle  ABC的外接圆的半径为R=\dfrac{65}{8}.

设圆O_1关于点A的切线长为x=6t, 圆O_2关于点B的切线长为y=7t, 圆O_3关于点C的切线长为z=8t, 则\triangle  O_1 O_2 O_3的三边长分别为13(1-t), 14(1-t), 15(1-t), 外接圆半径为2r. 由\triangle  ABC\backsim \triangle  O_1 O_2 O_3, 相似比为\dfrac{1}{1-t}, 得\triangle  ABC的外接圆半径为\dfrac{2r}{1-t}.

将点A, B, C处的三个四边形AA_1 O_1 A_2, BB_1 O_2 B_2, CC_1 O_3 C_2拼成一个小三角形, 其三边长分别为13t, 14t, 15t. 注意到它与\triangle  ABC相似, 相似比为t, 则其内切圆半径r=\dfrac{2^2\times 3\times 7t^2}{21t}=4t.

从而\dfrac{2r}{1-t}=\dfrac{8r}{4-4t}=\dfrac{8r}{4-r}=\dfrac{65}{8}. 解得r=\dfrac{260}{129}.

注: \triangle  ABC\triangle  O_1 O_2 O_3位似, 位似中心为\triangle  ABC的内心.