20171207-2


问题: 在凸四边形ABCD中, \angle ABC=\angle ADC=135^{\circ}, 点N和点M分别在射线ABAD上, 使得\angle MCD=\angle NCB=90^{\circ}, \triangle  AMN的外接圆与\triangle  ABD的外接圆交于点AK. 求证: AK\perp KC.

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证明: BK, DK, 则\angle BKD=\angle BAD=\angle NKM. 所以\angle DKM=\angle BKN.

\angle DMK=\angle BNK, 所以\triangle  DKM\backsim \triangle  BKN.

CE\perp AME, 作CF\perp ANF, 则A, E, C, F四点共圆.

又易知\triangle  CDM\triangle  CBN都是等腰直角三角形, 且由等腰三角形三线合一定理, 知E, F分别为DM, BN的中点, 故由\triangle  DKM\backsim \triangle  BKN, 可得\triangle  DKE\backsim \triangle  BKF. 进而易得\triangle  DBK\backsim\triangle  EFK.

所以\angle KAD=\angle KBD=\angle KFE. 从而A, K, E, F四点共圆. 所以A, K, E, C, F五点共圆.

所以\angle AKC=\angle AEC=90^{\circ}. 即AK\perp KC.