日期:2017年12月10日


第23届华杯初二初赛题9


问题: p是小于1000的质数, 且2p+1=m^n, 其中n, m都是大于1的自然数, 求p的值.

解答: 由题意, 易知m是大于1的奇数, 且p是奇质数.

(情形一) 当奇数m=3时, 2p=3^n-1=2(3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+3+1).

所以p=3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+3+1<1000. 从而n-1\leqslant 5. 故1<n\leqslant 6.

\dfrac{3^6-1}{2}=364, \dfrac{3^5-1}{2}=121, \dfrac{3^4-1}{2}=40, \dfrac{3^3-1}{2}=13, \dfrac{3^2-1}{2}=4, 中, 仅有p=13是质数.

(情形二) 当奇数m\geqslant 5时, 2p=m^n-1=(m-1)(m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1).

所以p=\dfrac{m-1}{2}\cdot (m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1).

但整数\dfrac{m-1}{2}>1, m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1>1, 故p不是质数. 此时无解.

综上, p=13.