月份:2018年5月


20180516问题


问题: 设实数a, b, c不全相等. 证明a+b+c=0当且仅当a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2.

证明: 容易看出, 若a+b+c=0, 则a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2全都成立(只要将a=-b-c代入).

反之, 若a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2全都成立, 不妨设a \ne b, 则 b^2+bc=a^2+ac. 即0=a^2-b^2+ac-bc=(a-b)(a+b+c).

因此a+b+c=0.

问题: 若正整数a, b, c满足a^b\mid b^c, a^c\mid c^b. 证明a^2\mid bc.

证明: 对任意素数p, 有b \cdot \nu_p(a) \leq c \cdot \nu_p(b), c \cdot \nu_p(a) \leq b \cdot \nu_p(c).

于是, \nu_p(bc) = \nu_p(b)+\nu_p(c) \geq \left( \fr{b}{c}+ \fr{c}{b} \right) \nu_p(a) \geq 2 \nu_p(a).

a^2 \mid bc.

注释: 这里\nu_p(a)表示a的标准分解式中p的幂次.