月份:2019年3月


OM20190325002


题: 求所有的整数对(x, y), 使得5x^2-6xy+7y^2=383.

解: 原方程配方, 得(5x-3y)^2+26y^2=1915. (1)

因此26y^2\leqslant 1915. 即y^2\leqslant 73\dfrac{17}{26}. (2)

另一方面, 由(1)式, 知5x-3y是奇数, 故对(1)式模8, 得1+2y^2\equiv 3\pmod{8}.

y^2\equiv 0, 1, 4(\bmod{8}), 仅有y^2\equiv 1(\bmod{8})满足上式. 从而y是奇数.

对原方程式模3, 得-x^2+y^2\equiv 2\pmod{3}.

而完全平方数模3余数只能是01, 所以x^2\equiv 1\pmod{3}, y^2\equiv 0\pmod{3}.

y3的倍数. 结合(2)式(注意y是奇数), 知y=\pm 3.

所以\begin{cases} y=3, \\ (5x-9)^2=1915-26\times 3^2=41^2;  \end{cases}\begin{cases} y=-3, \\ (5x+9)^2=1915-26\times 3^2=41^2.  \end{cases}

由模5, 可知\begin{cases} y=3, \\ 5x-9=41;  \end{cases}\begin{cases} y=-3, \\ 5x+9=-41.  \end{cases}

解得(x, y)=(10, 3), (-10, -3).

OM20190325001


题: 已知\begin{cases} x_1-x_2-x_3-\cdots-x_n=2a, \\ -x_1+3x_2-x_3-\cdots-x_n=4a, \\ -x_1-x_2+7x_3-\cdots-x_n=8a, \\ \cdots\\ -x_1-x_2-x_3-\cdots+(2^n-1)x_n=2^n a.  \end{cases}
用含na的代数式表示x_n.

解: 首先容易证明:

    \[\begin{aligned} &2^{n-2}-2^{n-3}-2^{n-4}-\cdots-2-1-1=0, \\ &-2^{n-2}+(2^2-1)\times 2^{n-3}-2^{n-4}-\cdots-2-1-1=0, \\ &-2^{n-2}-2^{n-3}+(2^3-1)\times 2^{n-4}-2^{n-5}-\cdots-2-1-1=0, \\ &\cdots\\ &-2^{n-2}-2^{n-3}-\cdots+(2^k-1)\times 2^{n-1-k}-2^{n-2-k}\cdots-2-1-1=0, \\ &\cdots\\ &-2^{n-2}-2^{n-3}-\cdots+(2^{n-1}-1)\times 1-1=0, \\ &-2^{n-2}-2^{n-3}-\cdots-2-1+(2^{n}-1)=2^{n-1}.  \end{aligned}\]

所以将原方程式从上至下依次乘2^{n-2}, 2^{n-3}, 2^{n-4}, \cdots, 2, 1, 1, 再相加, 得

    \[2^{n-1}x_n=\big[2^n+(n-1)\cdot 2^{n-1}\big]a=2^{n-1}(n+1)a.\]

    \[x_n=(n+1)a.\]

OM20190324001


H\triangle ABC的垂心, J为边BC的中点, 点M, N在边BC上, BM=CN, 且B, M, N, C四点按此次序排列. 过H且垂直HM的直线交ABE点. 过H且垂直HN的直线交ACF点. 则直线JH\perp EH.

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OM20190322002


AB为圆\omega的一条弦, PAB上一点. 圆\omega_1经过点AP, 并与圆\omega相内切; 圆\omega_2经过点BP, 并与圆\omega相内切. \omega_1, \omega_2相交于点P, Q. 直线PQ与圆\omega相交于点X, Y. 设AP=5, PB=3, XY=11, PQ^2=\dfrac{m}{n}, 其中m, n为互质正整数. 求m+n.

OM20190322001


g(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k, n), 其中n\in\mathbb{N}^{*}, (k, n)表示kn的最大公约数, 求g(100).

OM20190320


\triangle ABC中, 已知AB=2, AC=1, \angle BAC=90^{\circ}, D, E分别为BC, AD的中点, 过点E的直线交AB于点P, 交AC于点Q, 求\overrightarrow{BQ}\cdot \overrightarrow{CP}的最大值.

20190318002


如图, 四边形ABCD中, \angle ADB=2\angle ABD, \angle ABC=\angle BDC=30^{\circ}. 求证: AC=AD.

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简证: 作C关于AB的对称点O, 则\triangle OBC为等边三角形. 分别延长BA, CD, 交于点E.

\triangle BOC=2\angle BDC, 知点D在以O为圆心, OB为半径的圆上. 故\triangle OCD是等腰三角形.

易知\triangle CBD\backsim \triangle CEB, 得CB^2=CD\cdot CE. 故CO^2=CD\cdot CE. 所以\triangle CDO\backsim \triangle COE.

\angle ABD=\alpha, 则\angle ADB=2\alpha, \angle DAE=3\alpha, \angle OEC=\angle DOC=2\angle CBD=2(30^{\circ}-\alpha).

所以\angle COE=90^{\circ}-(30^{\circ}-\alpha)=60^{\circ}+\alpha.

所以\angle DOE=\angle COE-\angle COD=(60^{\circ}+\alpha)-(60^{\circ}-2\alpha)=3\alpha.

所以\angle DAE=\angle DOE. 所以A, D, E, O四点共圆.

所以\angle AOD=\angle AED=\dfrac{1}{2}\angle CEO=\dfrac{1}{2}\angle COD. 故\triangle AOC\cong \triangle AOD. 所以AC=AD.

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20190318001


如图, 在平面直角坐标系xOy中, \odot O的半径为2, 点A\odot O上, 点B, C分别在x轴和y轴上, AB=BC, \tan A=\dfrac{4}{3}, PAC上, 且PA=3PC, 连OP, 求OP的取值范围.

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