OM20190325002


题: 求所有的整数对(x, y), 使得5x^2-6xy+7y^2=383.

解: 原方程配方, 得(5x-3y)^2+26y^2=1915. (1)

因此26y^2\leqslant 1915. 即y^2\leqslant 73\dfrac{17}{26}. (2)

另一方面, 由(1)式, 知5x-3y是奇数, 故对(1)式模8, 得1+2y^2\equiv 3\pmod{8}.

y^2\equiv 0, 1, 4(\bmod{8}), 仅有y^2\equiv 1(\bmod{8})满足上式. 从而y是奇数.

对原方程式模3, 得-x^2+y^2\equiv 2\pmod{3}.

而完全平方数模3余数只能是01, 所以x^2\equiv 1\pmod{3}, y^2\equiv 0\pmod{3}.

y3的倍数. 结合(2)式(注意y是奇数), 知y=\pm 3.

所以\begin{cases} y=3, \\ (5x-9)^2=1915-26\times 3^2=41^2;  \end{cases}\begin{cases} y=-3, \\ (5x+9)^2=1915-26\times 3^2=41^2.  \end{cases}

由模5, 可知\begin{cases} y=3, \\ 5x-9=41;  \end{cases}\begin{cases} y=-3, \\ 5x+9=-41.  \end{cases}

解得(x, y)=(10, 3), (-10, -3).