月份:2019年5月


2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛题10


问题: 在复平面上, 任取方程z^{100}-1=0的三个不同的根为顶点组成三角形, 则不同锐角三角形的数目为\underline{\qquad\qquad}.

解答: \mathrm{C}_{100}^3-100\mathrm{C}_{49}^2-100\times 49=39200.

注释: 三角形有\mathrm{C}_{100}^3个, 钝角三角形有100\mathrm{C}_{49}^2个, 直角三角形有100\times 49个.

2019 Bangladesh MO-1


求所有的质数, 使其平方能表示成两个正整数的立方和.

2019 Bangladesh MO-9


凸四边形ABCD中, \angle {BAC}\angle {BDC}的内角平分线交于P, 且\angle {APB}=\angle {CPD}. 求证: AB+BD=AC+CD.

2019Canada MO-2


设正整数a,b满足a+b^3能被a^2+3ab+3b^2-1整除. 求证: a^2+3ab+3b^2-1可被大于1的整数的立方整除.