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方程组的实数解

作者: 单壿

题: 求方程组

    \[\left\{\begin{aligned}&x^3+2x-y=1, \qquad (1)\\&y^3+y+x=11 \qquad~\, (2)\end{aligned}\right.\]

的实数解. 

解: 两个方程都是三次. 啊呀! 难啊!

蜀道之难难于上青天.

可是这题很容易!

如果x\leqslant 0, 那么由(1), y\leqslant 0. 但代入 (2), 左边\leqslant 0. 所以x>0.

x=1时, 由(1), y=2. 代入(2), 正好两边相等.

我找到了! \begin{cases}x=1, \\y=2\end{cases}是方程组的解! 但是, 方程组仅此一解吗?

x>1, 则由(1), y>2. 代入(2), 左边>11.

0<x<1, 则由(1), y<2. 代入(2), 左边<11.

所以原方程组有且仅有一个实数解\begin{cases}x=1, \\y=2. \end{cases}