2021年4月根源杯初中数学素养联考第二试第2题

求所有的四元正实数组\left(x, y, z, w\right)使得

    \[\begin{cases}x^3+6y^2+5z+\dfrac{4}{w}=12, \vspace{1ex}\\y^3+6z^2+5w+\dfrac{4}{x}=12, \vspace{1ex}\\z^3+6w^2+5x+\dfrac{4}{y}=12, \vspace{1ex}\\w^3+6x^2+5y+\dfrac{4}{z}=12. \end{cases}\]

解: 四式相加, 得\HE_{cyc} \left(x^3+6x^2+5x+\dfrac{4}{x}\right)=48

注意到x>0, 所以由x^4+6x^3+5x^2-12x+4=\left(x^2+3x-2\right)^2\geqslant 0, 知x^3+6x^2+5x+\dfrac{4}{x}\geqslant 12

类似地, 得另外三个. 从而\HE_{cyc} \left(x^3+6x^2+5x+\dfrac{4}{x}\right)\geqslant 48. 当且仅当

    \[x^2+3x-2=y^2+3y-2=z^2+3z-2=w^2+3w-2=0\]

时, 等号成立. 所以原方程组的所有正实数解为

    \[\left(x, y, z, w\right)=\bigg(\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}, \dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}, \dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}, \dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\bigg).\]