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数学随笔: 一个三角不等式的证明(单壿)


看到一个三角不等式:

\triangle ABC中, 求证:

    \[\dfrac{\cos^2 A}{\sin A}+\dfrac{\cos^2 B}{\sin B}+\dfrac{\cos^2 C}{\sin C}\geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}. (1)\]

这里给出一个证明.

由Bottma《几何不等式》(单壿译, 北京大学出版社, 1991年出版) 2.1.

    \[0<\sin A+\sin B+\sin C\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{2}. (2)\]

及Cauchy不等式

    \[\HE \dfrac{1}{\sin A}\cdot \HE \sin A\geqslant 9. (3)\]

    \[\HE\dfrac{1}{\sin A}\geqslant 9\div \dfrac{3}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{3}. (4)\]

因此

    \[\begin{aligned} &\quad\;\HE \dfrac{\cos^2 A}{\sin A}=\HE\dfrac{1}{\sin A}-\HE\sin A\\ &\geqslant 2\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}\sqrt{3}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}\]

注: (2)的证明见Bottma的书, 亦可见拙著《几何不等式》P.72习题6.15, 其实就是一句很简单的话: y=\sin x在区间[\,0, \pi\,]上是凸的(y''=-\sin x<0).