一道中考模拟题


题目:在平面直角坐标系中, A, B, C三点的坐标分别为: A(1,4), B(0,3), C(3,0). 若Px轴上一点, 且\angle BPC=2\angle ACB. 求点P的坐标.

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解答:如图, \triangle ABC中, AB^2=2, BC^2=18, AC^2=20. 所以\triangle ABC是直角三角形, 且三边之比为1:3:\sqrt{10}. 取点D(-9, 0), 则\triangle ABC\backsim \triangle BOD.

BD的垂直平分线, 交BDE, 交x轴于F. 因为\triangle ABC\backsim \triangle BOD\backsim \triangle FED, 所以

    \[DF=\dfrac{BD}{2}\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}=5.\]

这里, \angle BFC=2\angle BDO=2\angle ACB. 此时OF=DO-DF=9-5=4, 故点F(-4,0)即为所求.

对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).

注释:1.\triangle ABC中, AB^2=2, BC^2=18, AC^2=20. 所以\triangle ABC是直角三角形, 且三边之比为1:3:\sqrt{10}. 取点D(-9, 0), 则\triangle ABC\backsim \triangle BOD.

BD的垂直平分线l, 则直线l的解析式为y=-3x-12. 由-3x-12=0, 得x=-4. 故(-4, 0)即为所求. 对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).

2.记\angle ACB=\alpha, 则\cos \alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}. 从而\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1=\dfrac{4}{5}. 故(-4, 0)即为所求. 对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).

2014天津中考数学(18)-答问


2014天津中考数学试题(18)

如图, 将\triangle ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中, 点A, 点B, 点C均落在格点上. 请在如图所示的网格中, 用无刻度的直尺, 画出一个以AB为一边的矩形, 使该矩形的面积等于AC^2+BC^2.

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分析: 本题方法颇多, 但下面的解法是利用勾股定理, 等积变换, 比例线段等知识.

简解: S_{ABDE}=3\times 4=12.

\triangle XYZ中, \dfrac{DD'}{YZ}=\dfrac{1}{4}, 故DD'=\dfrac{1}{4}. S_{DD'E'E}=\dfrac{1}{4}\times 4=1.

S_{ABD'E'}=12-1=11. 因此S_{ABFG}=S_{ABD'E'}=11.

图中矩形ABFG即为所求.