密码保护:初三综数一模复习要点


This content is password protected. To view it please enter your password.

密码保护:初三综数一模复习提纲


This content is password protected. To view it please enter your password.

2018IMO


1.设\Gamma是锐角三角形ABC的外接圆. 点DE分别在线段ABAC上, 满足AD=AE. 线段BDCE的垂直平分线分别与\Gamma的劣弧\wideparen{AB}\wideparen{AC}交于点FG. 证明: 直线DEFG平行(或重合).

2.求所有整数n\geqslant 3, 使得存在实数a_1, a_2, \cdots, a_{n+2}, 满足a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2, 并且对i=1,2,\cdots,n, 都有

    \[a_i a_{i+1}+1=a_{i+2}.\]

3.一个反帕斯卡三角形是由一些数排成的等边三角形数阵, 其中每个不在最后一行的数都恰好等于排在它下面的两个数的差的绝对值. 例如, 下面的数阵是一个帕斯卡三角形, 它共有四行, 并且恰含有1至10中的每个整数.

    \[ \begin{array}{ccccccc}   &   &   & 4 &  &  &\\   &   &  2 &  & 6 &  &\\   & 5  &   & 7 &  & 1 &\\ 8  &   & 3  &  & 10 &  & 9 \end{array} \]

试问: 是否存在一个共有2018行的反帕斯卡三角形, 恰含有1至1+2+\cdots+2018中的每个整数?

4.我们所谓一个位置是指直角坐标平面上的一个点(x,y), 其中x, y都是不超过20的正整数.

最初时, 所有400个位置都是空的. 甲乙两人轮流摆放石子, 由甲先进行. 每次轮到甲时, 他在一个空的位置上摆上一个新的红色石子, 要求任意两个红色石子所在位置之间的距离都不等于\sqrt{5}. 每次轮到乙时, 他在任意一个空的位置上摆上一个新的蓝色石子. (蓝色石子所在位置与其它石子所在位置之间距离可以是任意值. ) 如此这般进行下去直至某个人无法再摆放石子.

试确定最大的整数K, 使得无论乙如何摆放蓝色石子, 甲总能保证至少摆放K个红色石子.

5.设a_1, a_2, \cdots是一个无限项正整数序列. 已知存在整数N>1, 使得对每个整数n\geqslant N,

    \[\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_1}\]

都是整数. 证明: 存在正整数M, 使得a_m=a_{m+1}对所有整数m\geqslant M都成立.

6.在凸四边形ABCD中, AB\cdot CD=BC\cdot DA. 点X在四边形ABCD内部, 且满足

    \[\angle XAB=\angle XCD, \; \angle XBC=\angle XDA. \]

证明: \angle BXA+\angle DXC=180^{\circ}.

2017CaMO-3


问题: 已知集合S_n=\{1, 2, \cdots, n\}, T_nS_n的一个非空子集, 若T_n的元素的平均数等于T_n的中位数, 则称T_n是“平衡的”. 求证: 对所有正整数n, “平衡”子集T_n的个数是奇数.

(2017年加拿大数学奥林匹克第3题)

分析: 考虑配对思想.

证明: AS_n的任一平衡子集, 则S_n的子集A'=\{n+1-a\mid a\in A\}也是平衡的.

A\ne A', 则得到S_n的一对平衡子集.

A=A', 则得到S_n的一个平衡子集. 我们称这样的子集为回文子集.

所以只要证明S_n的非空回文子集有奇数个.

因为每个非空回文子集是

    \[\{1,n\},\{2,n-1\},\cdots,\left\{\left\lfloor\dfrac{n+1}2\right\rfloor,\left\lceil\dfrac {n+1}2\right\rceil\right\}\]

(特别地, 当2\nmid n时, \left\lfloor\dfrac{n+1}2\right\rfloor=\left\lceil\dfrac {n+1}2\right\rceil, 此集合是单元素集)的并集, 所以S_n2^{\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor}-1个非空回文子集.

对所有正整数n, \left\lfloor\dfrac{n+1}2\right\rfloor>0, 所以2^{\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor}-1是一个奇数.

从而“平衡”子集T_n的个数是奇数.

20180516问题


问题: 设实数a, b, c不全相等. 证明a+b+c=0当且仅当a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2.

证明: 容易看出, 若a+b+c=0, 则a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2全都成立(只要将a=-b-c代入).

反之, 若a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2全都成立, 不妨设a \ne b, 则 b^2+bc=a^2+ac. 即0=a^2-b^2+ac-bc=(a-b)(a+b+c).

因此a+b+c=0.

问题: 若正整数a, b, c满足a^b\mid b^c, a^c\mid c^b. 证明a^2\mid bc.

证明: 对任意素数p, 有b \cdot \nu_p(a) \leq c \cdot \nu_p(b), c \cdot \nu_p(a) \leq b \cdot \nu_p(c).

于是, \nu_p(bc) = \nu_p(b)+\nu_p(c) \geq \left( \fr{b}{c}+ \fr{c}{b} \right) \nu_p(a) \geq 2 \nu_p(a).

a^2 \mid bc.

注释: 这里\nu_p(a)表示a的标准分解式中p的幂次.

不定方程的整数解


问题: 求方程x^3-y^3=2xy+8的整数解.

解答: 原方程变形为(3x)^3+(-3y)^3+(-2)^3-3\cdot 3x\cdot (-3y)\cdot (-2)=2^4\times 13.

(3x-3y-2)(9x^2+9y^2+4+9xy+6x-6y)=2^4\times 13. 因为3x-3y-2模3余1, 所以(3x-3y-2, 9x^2+9y^2+4+9xy+6x-6y)=(1, 208), (4, 52), (13, 16), (16, 13), (52, 4), (208, 1). 后略.