不定方程的整数解


问题: 求方程x^3-y^3=2xy+8的整数解.

解答: 原方程变形为(3x)^3+(-3y)^3+(-2)^3-3\cdot 3x\cdot (-3y)\cdot (-2)=2^4\times 13.

(3x-3y-2)(9x^2+9y^2+4+9xy+6x-6y)=2^4\times 13. 因为3x-3y-2模3余1, 所以(3x-3y-2, 9x^2+9y^2+4+9xy+6x-6y)=(1, 208), (4, 52), (13, 16), (16, 13), (52, 4), (208, 1). 后略.

一道中考模拟题


题目:在平面直角坐标系中, A, B, C三点的坐标分别为: A(1,4), B(0,3), C(3,0). 若Px轴上一点, 且\angle BPC=2\angle ACB. 求点P的坐标.

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解答:如图, \triangle ABC中, AB^2=2, BC^2=18, AC^2=20. 所以\triangle ABC是直角三角形, 且三边之比为1:3:\sqrt{10}. 取点D(-9, 0), 则\triangle ABC\backsim \triangle BOD.

BD的垂直平分线, 交BDE, 交x轴于F. 因为\triangle ABC\backsim \triangle BOD\backsim \triangle FED, 所以

    \[DF=\dfrac{BD}{2}\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}=5.\]

这里, \angle BFC=2\angle BDO=2\angle ACB. 此时OF=DO-DF=9-5=4, 故点F(-4,0)即为所求.

对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).

注释:1.\triangle ABC中, AB^2=2, BC^2=18, AC^2=20. 所以\triangle ABC是直角三角形, 且三边之比为1:3:\sqrt{10}. 取点D(-9, 0), 则\triangle ABC\backsim \triangle BOD.

BD的垂直平分线l, 则直线l的解析式为y=-3x-12. 由-3x-12=0, 得x=-4. 故(-4, 0)即为所求. 对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).

2.记\angle ACB=\alpha, 则\cos \alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}. 从而\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1=\dfrac{4}{5}. 故(-4, 0)即为所求. 对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).

2014天津中考数学(18)-答问


2014天津中考数学试题(18)

如图, 将\triangle ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中, 点A, 点B, 点C均落在格点上. 请在如图所示的网格中, 用无刻度的直尺, 画出一个以AB为一边的矩形, 使该矩形的面积等于AC^2+BC^2.

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分析: 本题方法颇多, 但下面的解法是利用勾股定理, 等积变换, 比例线段等知识.

简解: S_{ABDE}=3\times 4=12.

\triangle XYZ中, \dfrac{DD'}{YZ}=\dfrac{1}{4}, 故DD'=\dfrac{1}{4}. S_{DD'E'E}=\dfrac{1}{4}\times 4=1.

S_{ABD'E'}=12-1=11. 因此S_{ABFG}=S_{ABD'E'}=11.

图中矩形ABFG即为所求.

OM20180110


有6个和为21的自然数x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{6}, 试问在x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{6}, x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_4, x_4+x_5, x_5+x_6中, 是否一定至少有两个数是相等的? 说明你的理由.

OM20180109


已知n个不大于20的不同正整数, 一定存在4个不同的正整数a, b, c, d, 使得20\mid a+b-c-d. 求n的最小值.

第23届华杯初二初赛题10


问题: [a]表示不大于a的最大整数, 例如[3.2]=3, [-3.4]=-4, \Big[\sqrt{2}\Big]=1, 计算
\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 0+9}}{10}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 1+9}}{10}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 2+9}}{10}\Bigg]+\cdots+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 2018+9}}{10}\Bigg]等于________.

解答: 填17511.

首先考虑10n+9是完全平方数时, \sqrt{10n+9}的个位数字是3或7, 并且可以取到\sqrt{10\times 0+9}\sqrt{10\times 2018+9}之间的所有个位数字为3或7的正整数: 3, 7, 13, 17, 23, 27, \cdots, 133, 137.

注意到\dfrac{-3+3}{10}=0, \dfrac{-3+13}{10}=1, \cdots, \dfrac{-3+133}{10}=13, 后一项比前一项增加\dfrac{10}{10}=1.

10n+9=(10k+3)^2, 则n=10k^2+6k. 记为n_k=10k^2+6k, 则n_{k+1}-n_k=20k+16. 所以

    \[\begin{aligned} &\quad\,\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 0+9}}{10}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 1+9}}{10}\Bigg]+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 2+9}}{10}\Bigg]+\cdots+\Bigg[\dfrac{-3+\sqrt{10\times 2018+9}}{10}\Bigg]\\ &=\sum_{k=0}^{12} k\times (20k+16)+13\times (2018-10\times 13^2-6\times 13+1)\\ &=20\sum_{k=1}^{12} k^2+16\sum_{k=1}^{12} k+13\times 251\\ &=13\times 1347\\ &=17511. \end{aligned}\]

第23届华杯初二初赛题9


问题: p是小于1000的质数, 且2p+1=m^n, 其中n, m都是大于1的自然数, 求p的值.

解答: 由题意, 易知m是大于1的奇数, 且p是奇质数.

(情形一) 当奇数m=3时, 2p=3^n-1=2(3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+3+1).

所以p=3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+3+1<1000. 从而n-1\leqslant 5. 故1<n\leqslant 6.

\dfrac{3^6-1}{2}=364, \dfrac{3^5-1}{2}=121, \dfrac{3^4-1}{2}=40, \dfrac{3^3-1}{2}=13, \dfrac{3^2-1}{2}=4, 中, 仅有p=13是质数.

(情形二) 当奇数m\geqslant 5时, 2p=m^n-1=(m-1)(m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1).

所以p=\dfrac{m-1}{2}\cdot (m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1).

但整数\dfrac{m-1}{2}>1, m^{n-1}+m^{n-2}+\cdots+m+1>1, 故p不是质数. 此时无解.

综上, p=13.

20171207-2


问题: 在凸四边形ABCD中, \angle ABC=\angle ADC=135^{\circ}, 点N和点M分别在射线ABAD上, 使得\angle MCD=\angle NCB=90^{\circ}, \triangle  AMN的外接圆与\triangle  ABD的外接圆交于点AK. 求证: AK\perp KC.

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证明: BK, DK, 则\angle BKD=\angle BAD=\angle NKM. 所以\angle DKM=\angle BKN.

\angle DMK=\angle BNK, 所以\triangle  DKM\backsim \triangle  BKN.

CE\perp AME, 作CF\perp ANF, 则A, E, C, F四点共圆.

又易知\triangle  CDM\triangle  CBN都是等腰直角三角形, 且由等腰三角形三线合一定理, 知E, F分别为DM, BN的中点, 故由\triangle  DKM\backsim \triangle  BKN, 可得\triangle  DKE\backsim \triangle  BKF. 进而易得\triangle  DBK\backsim\triangle  EFK.

所以\angle KAD=\angle KBD=\angle KFE. 从而A, K, E, F四点共圆. 所以A, K, E, C, F五点共圆.

所以\angle AKC=\angle AEC=90^{\circ}. 即AK\perp KC.