20170930-1


20170930-1

如图, NS是圆O的直径, 弦AB\perp NSM, P为弧ANB上异于N的任一点,PSABR, PM的延长线交圆OQ. 求证: RS>MQ.

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证明: (法一)如下图, 连QNABT, 连QS, ST.

因为\angle NQS=\angle AMS=90^{\circ}, 所以T, Q, S, M四点共圆.

所以\angle PSN=\angle NQP=\angle TSN. 而AB\perp NS, 所以\triangle SRT是等腰三角形.

而在TQSM的内接圆中, ST是直径, MQ是非直径的弦, 所以RS=ST>MQ.

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证明: (法二)(张若祺)如下图, 连NR并延长交\odot OT, 连TS, NP.

因为NS是直径, 所以\angle NPS=90^{\circ}. 又AB\perp NS, 所以N, M, R, P四点共圆.

所以\angle SNT=\angle QPS. 所以弧{QS}=TS. 所以QT关于\odot O直径NS对称.

M是对称轴NS上的点, 所以MQ=MT.

因为\angle BMS=\angle NTS=90^{\circ}, 所以M, R, T, S四点共圆.

在四边形MRTS的外接圆中, RS是直径, MT是非直径的弦, 所以RS>MT=MQ.

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2017德国数学奥林匹克-6


求证: 存在无穷多个正整数m, 使得存在m个连续完全平方数的和为m^3, 并给出一个m>1的解.

2017Balkan MO-1


求所有的有序正整数对(x, y)使得:

    \[x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.\]

2016/2017英国数学奥林匹克第1轮


2016/2017英国数学奥林匹克第1轮

第1题. 列出1\sim 2016十进制整数, 每个恰好出现一次, 0\sim 9每个数字被列出多次. 列出的数中数字是奇数的有多少个?

例如在1, 2, 3, \cdots, 11中出现了8个奇数字.

第2题. 对每个正实数x, 定义\{x\}x\displaystyle\frac{1}{x}中的较大数. 求并证明满足

    \[5y\{8y\}\{25y\}=1\]

的所有正实数y.

第3题. 求满足方程

    \[n^2-6n=m^2+m-10\]

的所有正整数对(m, n).

第4题. 娜奥米和汤姆做游戏, 娜奥米首先开始, 他们轮流从1\sim 100中选取一个整数, 选过的数不能再选. 某人选取数之后, 若两人所有选取的数之和不能写成两个完全平方数之差时, 就认定此人失败. 问谁有必胜策略, 并说明原因.

第5题. \triangle ABC中, \angle A<\angle B<90^{\circ}, 设\Gamma是其外接圆. 圆\GammaA, C的切线交于P. 线段AB, PC的延长线交于Q. S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BQC}. 求证: \angle BCA=90^{\circ}.

第6题. 连续正整数m, m+1, m+2m+3分别能被连续正奇数n, n+2, n+4n+6整除. 求m的最小可能值.

2014USAMTS-R1-1


求所有的三元数组(x, y, z), 使得x, y, z, x-y, y-z, z-x均为质数.

2017加拿大数学奥林匹克


第1题. 已知a, b, c是互异非负实数, 求证:

    \[\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(b-a)^2}>2.\]

第2题. 定义函数f(n):\mathbb{N}_+\to\mathbb{N}_+, f\big(f(n)\big)n的正约数的个数.

求证: 若p是质数, 则f(p)也是质数.

第3题. 已知集合S_n=\{1, 2, \cdots, n\}, T_nS_n的一个非空子集, 若T_n的元素的平均数等于T_n的中位数, 则称T_n是“平衡的”. 求证: 对所有正整数n, “平衡”子集T_n的个数是奇数.

第4题. 已知ABCD是平行四边形, 点P, Q位于其内部, 使得\triangle ABP\triangle BCQ是等边三角形. 求证: 过P且垂直于PD的直线与过Q且垂直于DQ的直线的交点位于\triangle ABCB的高线上.

第5题. 平面上放置了100个单位圆, 其中任意三个圆的圆心为顶点所构成的三角形的面积都不大于2017. 证明: 存在一条直线, 它至少与其中的三个圆相交.

2017中国北方希望之星数学邀请赛第一天第4题


将一个正2017边形用它的2014条在内部不相交的对角线划分成2015个三角形区域. 求这2015个三角形中等腰三角形个数的最大可能值.

2017中国东南地区数学奥林匹克高二第二天第2题


如图, 在圆O的内接四边形ABCD中, 对角线AC, BD相互垂直, 弧ADC的中点为M, 过M, O, D三点的圆与DA, DC分别交于E, F. 证明: BE=BF.

 

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