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题目:在平面直角坐标系中, $A$ , $B$ , $C$ 三点的坐标分别为: $A(1,4)$ , $B(0,3)$ , $C(3,0)$ . 若 $P$ 为 $x$ 轴上一点, 且 $\angle BPC=2\angle ACB$ . 求点 $P$ 的坐标.

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解答:如图, $\triangle ABC$ 中, $AB^2=2$ , $BC^2=18$ , $AC^2=20$ . 所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形, 且三边之比为 $1:3:\sqrt{10}$ . 取点 $D(-9, 0)$ , 则 $\triangle ABC\backsim \triangle BOD$ .

作 $BD$ 的垂直平分线, 交 $BD$ 于 $E$ , 交 $x$ 轴于 $F$ . 因为 $\triangle ABC\backsim \triangle BOD\backsim \triangle FED$ , 所以

$DF=\dfrac{BD}{2}\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}=5.$

这里, $\angle BFC=2\angle BDO=2\angle ACB$ . 此时 $OF=DO-DF=9-5=4$ , 故点 $F(-4,0)$ 即为所求.

对称的, 满足要求的点 $P$ 的坐标为 $(4,0)$ 或 $(-4,0)$ .

注释:1. $\triangle ABC$ 中, $AB^2=2$ , $BC^2=18$ , $AC^2=20$ . 所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形, 且三边之比为 $1:3:\sqrt{10}$ . 取点 $D(-9, 0)$ , 则 $\triangle ABC\backsim \triangle BOD$ .

作 $BD$ 的垂直平分线 $l$ , 则直线 $l$ 的解析式为 $y=-3x-12$ . 由 $-3x-12=0$ , 得 $x=-4$ . 故 $(-4, 0)$ 即为所求. 对称的, 满足要求的点 $P$ 的坐标为 $(4,0)$ 或 $(-4,0)$ .

2.记 $\angle ACB=\alpha$ , 则 $\cos \alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ . 从而 $\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1=\dfrac{4}{5}$ . 故 $(-4, 0)$ 即为所求. 对称的, 满足要求的点 $P$ 的坐标为 $(4,0)$ 或 $(-4,0)$ .

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