数学望远镜

问题: 设实数 $a$ , $b$ , $c$ 不全相等. 证明 $a+b+c=0$ 当且仅当 $a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2$ .

证明: 容易看出, 若 $a+b+c=0$ , 则 $a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2$ 全都成立(只要将 $a=-b-c$ 代入).

反之, 若 $a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2$ 全都成立, 不妨设 $a \ne b$ , 则 $b^2+bc=a^2+ac$ . 即 $0=a^2-b^2+ac-bc=(a-b)(a+b+c)$ .

因此 $a+b+c=0$ .

问题: 若正整数 $a$ , $b$ , $c$ 满足 $a^b\mid b^c$ , $a^c\mid c^b$ . 证明 $a^2\mid bc$ .

证明: 对任意素数 $p$ , 有 $b \cdot \nu_p(a) \leq c \cdot \nu_p(b)$ , $c \cdot \nu_p(a) \leq b \cdot \nu_p(c)$ .

于是, $\nu_p(bc) = \nu_p(b)+\nu_p(c) \geq \left( \fr{b}{c}+ \fr{c}{b} \right) \nu_p(a) \geq 2 \nu_p(a)$ .

故 $a^2 \mid bc$ .

注释: 这里 $\nu_p(a)$ 表示 $a$ 的标准分解式中 $p$ 的幂次.

不定方程的整数解

问题: 求方程 $x^3-y^3=2xy+8$ 的整数解.

解答: 原方程变形为 $(3x)^3+(-3y)^3+(-2)^3-3\cdot 3x\cdot (-3y)\cdot (-2)=2^4\times 13$ .

即 $(3x-3y-2)(9x^2+9y^2+4+9xy+6x-6y)=2^4\times 13$ . 因为 $3x-3y-2$ 模3余1, 所以 $(3x-3y-2, 9x^2+9y^2+4+9xy+6x-6y)=(1, 208), (4, 52), (13, 16), (16, 13), (52, 4), (208, 1)$ . 后略.

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20180516问题

不定方程的整数解

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