数学望远镜

看到一个三角不等式:

在 $\triangle ABC$ 中, 求证:

$\dfrac{\cos^2 A}{\sin A}+\dfrac{\cos^2 B}{\sin B}+\dfrac{\cos^2 C}{\sin C}\geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}. (1)$

这里给出一个证明.

由Bottma《几何不等式》(单壿译, 北京大学出版社, 1991年出版) 2.1.

$0<\sin A+\sin B+\sin C\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{2}. (2)$

及Cauchy不等式

$\HE \dfrac{1}{\sin A}\cdot \HE \sin A\geqslant 9. (3)$

得

$\HE\dfrac{1}{\sin A}\geqslant 9\div \dfrac{3}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{3}. (4)$

因此

$\begin{aligned} &\quad\;\HE \dfrac{\cos^2 A}{\sin A}=\HE\dfrac{1}{\sin A}-\HE\sin A\\ &\geqslant 2\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}\sqrt{3}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

注: (2)的证明见Bottma的书, 亦可见拙著《几何不等式》P.72习题6.15, 其实就是一句很简单的话: $y=\sin x$ 在区间 $[\,0, \pi\,]$ 上是凸的 $(y''=-\sin x<0)$ .

2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛题10

2019年5月21日

代数, 组合

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admin

问题: 在复平面上, 任取方程 $z^{100}-1=0$ 的三个不同的根为顶点组成三角形, 则不同锐角三角形的数目为 $\underline{\qquad\qquad}$ .

解答: $\mathrm{C}_{100}^3-100\mathrm{C}_{49}^2-100\times 49=39200$ .

注释: 三角形有 $\mathrm{C}_{100}^3$ 个, 钝角三角形有 $100\mathrm{C}_{49}^2$ 个, 直角三角形有 $100\times 49$ 个.

2019 Bangladesh MO-1

求所有的质数, 使其平方能表示成两个正整数的立方和.

2019 Bangladesh MO-9

凸四边形 $ABCD$ 中, $\angle {BAC}$ 与 $\angle {BDC}$ 的内角平分线交于 $P$ , 且 $\angle {APB}=\angle {CPD}$ . 求证: $AB+BD=AC+CD$ .

2019Canada MO-2

设正整数 $a,b$ 满足 $a+b^3$ 能被 $a^2+3ab+3b^2-1$ 整除. 求证: $a^2+3ab+3b^2-1$ 可被大于1的整数的立方整除.

OM20190325002

题: 求所有的整数对 $(x, y)$ , 使得 $5x^2-6xy+7y^2=383$ .

解: 原方程配方, 得 $(5x-3y)^2+26y^2=1915$ . $(1)$

因此 $26y^2\leqslant 1915$ . 即 $y^2\leqslant 73\dfrac{17}{26}$ . $(2)$

另一方面, 由 $(1)$ 式, 知 $5x-3y$ 是奇数, 故对 $(1)$ 式模 $8$ , 得 $1+2y^2\equiv 3\pmod{8}$ .

而 $y^2\equiv 0, 1, 4(\bmod{8})$ , 仅有 $y^2\equiv 1(\bmod{8})$ 满足上式. 从而 $y$ 是奇数.

对原方程式模 $3$ , 得 $-x^2+y^2\equiv 2\pmod{3}$ .

而完全平方数模 $3$ 余数只能是 $0$ 或 $1$ , 所以 $x^2\equiv 1\pmod{3}$ , $y^2\equiv 0\pmod{3}$ .

故 $y$ 是 $3$ 的倍数. 结合 $(2)$ 式(注意 $y$ 是奇数), 知 $y=\pm 3$ .

所以 $\begin{cases} y=3, \\ (5x-9)^2=1915-26\times 3^2=41^2; \end{cases}$ 或 $\begin{cases} y=-3, \\ (5x+9)^2=1915-26\times 3^2=41^2. \end{cases}$

由模 $5$ , 可知 $\begin{cases} y=3, \\ 5x-9=41; \end{cases}$ 或 $\begin{cases} y=-3, \\ 5x+9=-41. \end{cases}$

解得 $(x, y)=(10, 3), (-10, -3)$ .

题: 已知 $\begin{cases} x_1-x_2-x_3-\cdots-x_n=2a, \\ -x_1+3x_2-x_3-\cdots-x_n=4a, \\ -x_1-x_2+7x_3-\cdots-x_n=8a, \\ \cdots\\ -x_1-x_2-x_3-\cdots+(2^n-1)x_n=2^n a. \end{cases}$
用含 $n$ 和 $a$ 的代数式表示 $x_n$ .

解: 首先容易证明:

$\begin{aligned} &2^{n-2}-2^{n-3}-2^{n-4}-\cdots-2-1-1=0, \\ &-2^{n-2}+(2^2-1)\times 2^{n-3}-2^{n-4}-\cdots-2-1-1=0, \\ &-2^{n-2}-2^{n-3}+(2^3-1)\times 2^{n-4}-2^{n-5}-\cdots-2-1-1=0, \\ &\cdots\\ &-2^{n-2}-2^{n-3}-\cdots+(2^k-1)\times 2^{n-1-k}-2^{n-2-k}\cdots-2-1-1=0, \\ &\cdots\\ &-2^{n-2}-2^{n-3}-\cdots+(2^{n-1}-1)\times 1-1=0, \\ &-2^{n-2}-2^{n-3}-\cdots-2-1+(2^{n}-1)=2^{n-1}. \end{aligned}$