不定方程的整数解


问题: 求方程x^3-y^3=2xy+8的整数解.

解答: 原方程变形为(3x)^3+(-3y)^3+(-2)^3-3\cdot 3x\cdot (-3y)\cdot (-2)=2^4\times 13.

(3x-3y-2)(9x^2+9y^2+4+9xy+6x-6y)=2^4\times 13. 因为3x-3y-2模3余1, 所以(3x-3y-2, 9x^2+9y^2+4+9xy+6x-6y)=(1, 208), (4, 52), (13, 16), (16, 13), (52, 4), (208, 1). 后待补.

一道中考模拟题


题目:在平面直角坐标系中, A, B, C三点的坐标分别为: A(1,4), B(0,3), C(3,0). 若Px轴上一点, 且\angle BPC=2\angle ACB. 求点P的坐标.

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解答:如图, \triangle ABC中, AB^2=2, BC^2=18, AC^2=20. 所以\triangle ABC是直角三角形, 且三边之比为1:3:\sqrt{10}. 取点D(-9, 0), 则\triangle ABC\backsim \triangle BOD.

BD的垂直平分线, 交BDE, 交x轴于F. 因为\triangle ABC\backsim \triangle BOD\backsim \triangle FED, 所以

    \[DF=\dfrac{BD}{2}\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}=5.\]

这里, \angle BFC=2\angle BDO=2\angle ACB. 此时OF=DO-DF=9-5=4, 故点F(-4,0)即为所求.

对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).

注释:1.\triangle ABC中, AB^2=2, BC^2=18, AC^2=20. 所以\triangle ABC是直角三角形, 且三边之比为1:3:\sqrt{10}. 取点D(-9, 0), 则\triangle ABC\backsim \triangle BOD.

BD的垂直平分线l, 则直线l的解析式为y=-3x-12. 由-3x-12=0, 得x=-4. 故(-4, 0)即为所求. 对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).

2.记\angle ACB=\alpha, 则\cos \alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}. 从而\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1=\dfrac{4}{5}. 故(-4, 0)即为所求. 对称的, 满足要求的点P的坐标为(4,0)(-4,0).