2021年土耳其TST第1题

题: 设n是正整数, 求证: \dfrac{20\cdot 5^n-2}{3^n+47}不是整数. 

证: 假设\exists n \in \mathbf{Z}^+, 使得\dfrac{20 \cdot 5^n-2}{3^n+47} \in \mathbf{Z}^+.

v_2\left(20\cdot 5^n-2\right)=1, 得v_2\left(3^n+47\right)\leqslant 1

2\mid \left(3^n+47\right), 故v_2\left(3^n+47\right)=1

易知2\nmid n (否则, 设n=2k\left(k\in\mathbf{Z}^+\right), 则

    \[3^n+47=3^{2k}+47\equiv 0\pmod{8}.\]

v_2\left(3^n+47\right)\geqslant 3. 矛盾). 

5\nmid 20\cdot 5^n-2, 知5\nmid 3^n+47

易知4\mid n-3 (否则, 设n=4k+1, 则

    \[3^n+47=3^{4k+1}+47\equiv 0\pmod{5}.\]

矛盾). 

n=4k+3, 则

    \[\begin{aligned}&20\cdot 5^n=\left(2\cdot 5^{2k+2}\right)^2, \\&3^n+47=3^{4k+3}+47\equiv 27+47\equiv 10\pmod{16}. \end{aligned}\]

p3^n+47的任一奇素因子, 则

    \[\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=1.\]

p \equiv \pm 1 \left(\bmod{8}\right). 故\dfrac{3^n+47}{2}\equiv \pm 1 \left(\bmod{8}\right)

但由3^n+47\equiv 10\left(\bmod{16}\right), 知\dfrac{3^n+47}{2}\equiv 5\left(\bmod{8}\right). 矛盾. 

综上, 原命题成立.