数学解题艺术

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2021年土耳其TST第1题

更新时间 2021年9月27日2021年9月27日由振翅鲲鹏

题: 设 $n$ 是正整数, 求证: $\dfrac{20\cdot 5^n-2}{3^n+47}$ 不是整数.

证: 假设 $\exists$ $n \in \mathbf{Z}^+$ , 使得 $\dfrac{20 \cdot 5^n-2}{3^n+47} \in \mathbf{Z}^+$ .

由 $v_2\left(20\cdot 5^n-2\right)=1$ , 得 $v_2\left(3^n+47\right)\leqslant 1$ .

而 $2\mid \left(3^n+47\right)$ , 故 $v_2\left(3^n+47\right)=1$ .

易知 $2\nmid n$ (否则, 设 $n=2k\left(k\in\mathbf{Z}^+\right)$ , 则

$3^n+47=3^{2k}+47\equiv 0\pmod{8}.$

即 $v_2\left(3^n+47\right)\geqslant 3$ . 矛盾).

由 $5\nmid 20\cdot 5^n-2$ , 知 $5\nmid 3^n+47$ .

易知 $4\mid n-3$ (否则, 设 $n=4k+1$ , 则

$3^n+47=3^{4k+1}+47\equiv 0\pmod{5}.$

矛盾).

设 $n=4k+3$ , 则

$\begin{aligned}&20\cdot 5^n=\left(2\cdot 5^{2k+2}\right)^2, \\&3^n+47=3^{4k+3}+47\equiv 27+47\equiv 10\pmod{16}. \end{aligned}$

设 $p$ 是 $3^n+47$ 的任一奇素因子, 则

$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=1.$

故 $p \equiv \pm 1 \left(\bmod{8}\right)$ . 故 $\dfrac{3^n+47}{2}\equiv \pm 1 \left(\bmod{8}\right)$ .

但由 $3^n+47\equiv 10\left(\bmod{16}\right)$ , 知 $\dfrac{3^n+47}{2}\equiv 5\left(\bmod{8}\right)$ . 矛盾.

综上, 原命题成立.