Zsigmondy定理:
(1) 若$a, b, n\in\Bbb{Z}_+$, $a>b$, $\gcd(a, b)=1$, $n\geqslant 2$, 则$a^n-b^n$至少有一个质因子不整除$a^k-b^k\left(\forall\,k<n, k\in\Bbb{Z}_+\right)$, 除了
(i) $2^6-1^6$和
(ii) $n=2$, $a+b$是$2$的幂.
(2)若$a, b, n\in\Bbb{Z}_+$, $a>b$, $n\geqslant 2$, 则$a^n+b^n$至少有一个质因子不整除$a^k+b^k\left(\forall\,k<n, k\in\Bbb{Z}_+\right)$, 除了$2^3+1^3$.
【问题】求所有的三元正整数组$(a, b, p)$, 使得$2^a+p^b=19^a$. (意大利TST2003)
【解答】原方程即
\[19^a-2^a=p^b. \]
$17\mid 19^a-2^a\implies p=17$.
注意到若$a>3$, 则由Zsigmondy定理, 知$19^a-2^a$有质因子$k\neq 17$. 矛盾.
于是只要考虑$a=1$或$2$.
因此只有唯一解$(a, b, p)=(1, 1, 17)$.