2022第37届中国数学奥林匹克

(第一天)

1. 给定正实数a, b和平面上的两个点A, B, 满足AB=a. 平面上取两个点C, D满足ABCD是一个非退化的凸四边形, 并且BC=CD=b, AD=a. 易知四边形ABCD有内切圆, 求内切圆圆心的轨迹. 

2. 求最大的实数\lambda, 使得对任意p, q, r, s\in\mathbf{R}_+, 都存在一个复数z=a+b\,\mathrm{i}满足|b|\geqslant \lambda |a|, 并且z是如下方程的根: 

    \[\left(pz^3+2qz^2+2rz+s\right)\left(qz^3+2pz^2+2sz+r\right)=0.\]

3. 求所有a\in\mathbf{Z}, 使得存在一个六元集合X满足对k=1, 2, \cdots, 36, 方程

    \[ax+y-k\equiv 0\pmod{37}\]

均存在解\left(x, y\right)满足x, y\in X

(第二天)

4. n\left(n\geqslant 3\right)个科学家一同参加会议. 在会议上, 每个科学家都有一些朋友(朋友关系是相互的, 且每个人都不是自己的朋友). 已知无论怎样将这些科学家分成两个非空的群体, 总存在两个来自同一群体的科学家是朋友, 也存在两个来自不同群体的科学家是朋友. 

在会议的第一天提出了一项提案, 每个科学家对该提案的意见均用一个非负整数表示. 从第二天起, 每个科学家对该提案的意见改为前一天其所有朋友对该提案意见的平均值的整数部分. 

证明: 经过一段时间, 所有科学家对该提案都有相同的意见. 

5. 我们知道, 在尺规作图结构中, 只有两种类型的一维结构: 圆和直线. 最开始时, 白纸上只有两个距离为1的点. 证明: 可以用无刻度直尺和圆规在纸上作出一条直线和直线上距离\sqrt{2021}的两点, 且在构造过程中, 出现的圆和直线的总数不超过10. 

注: 请给出明确的作图步骤. 并按照圆和直线出现的顺序贴上标签. 如果作图步骤中出现的圆和直线的总数超过10, 则根据总数可能会得到部分分数. 

6. 对整数0\leqslant a\leqslant n, 设f\left(n, a\right)为多项式\left(x+1\right)^a\left(x+2\right)^{n-a}的展开式系数中, 3的倍数的个数. 例如: \left(x+1\right)^3\left(x+2\right)^{1}=x^4+5x^3+9x^2+7x+2, 则f\left(4, 3\right)=1. 对任意正整数n, 设F\left(n\right)f\left(n, 0\right), f\left(n, 1\right), \cdots, f\left(n, n\right)中的最小值. 

(1) 求证: 存在无穷多个正整数n, 使得F\left(n\right)\geqslant \dfrac{n-1}{3}

(2) 求证: 对任意正整数n, F\left(n\right)\leqslant \dfrac{n-1}{3}