2021-4-根源杯初中数学素养第二试第一题

已知互不相等的正整数a, b, c满足: 2a\left(2ac+2a-b\right)=a+b+2c-1, 证明: c\geqslant a+3

证明: 设c-a=t, 则c=a+t

因为2a\left(2ac+2a-b\right)=a+b+2c-1, 所以

    \[\left(2a+1\right)b=4a^2 c+4a^2-a-2c+1=4a^3+4a^2-3a+1+\left(4a^2-2\right)t.\]

    \[b=2a^2+a+2+\left(2a-1\right)t+\dfrac{3-t}{2a+1}.\]

所以2a+1\mid 3-t=a-c+3\Longrightarrow 2a+1\mid 2\left(a-c+3\right)-\left(2a+1\right). 所以2a+1\mid 2c-5

c=1, 则仅有a=1. 与a\ne c矛盾. 若c=2, 则a无解. 因此c\geqslant 3\Longrightarrow 2c-5>0

从而2c-5\geqslant 2a+1\Longrightarrow c-a\geqslant 3