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2022年IMO中国国家集训队测试(第一、二、三、四天)

特别感谢程国根老师提供TeX源代码.

第一天

  1. 圆内接凸六边形ABCDEFABDC交于点GAFDE交于点HMN\triangle BCG\triangle EFH的外心.证明:BECFMN三线共点.
  2. p为素数,A为无穷整数集,证明:存在A2p-2元子集BB中任意p个元素的算术平均数不在A中.
  3. abcpqr是正整数,pqr\geqslant 2Q={(x,y,z)\in\mathbb{Z}^3\mid 0\leqslant x\leqslant a, 0\leqslant y\leqslant b,0\leqslant z\leqslant c}.在Q中放上M枚棋子(一个点上可以放上多枚棋子),并可执行下面三类操作:
    (1)在(x,y,z)上拿掉p枚棋子,在(x-1,y,z)上放一枚棋子;
    (2)在(x,y,z)上拿掉q枚棋子,在(x,y-1,z)上放一枚棋子;
    (3)在(x,y,z)上拿掉r枚棋子,在(x,y,z-1)上放一枚棋子.
    求最小的M,使得无论如何放棋子,总可以适当操作,使得最后(0,0,0)有一枚棋子.

第二天

  1. 锐角\triangle ABC内接于圆O\angle ACB>2\angle ABC\triangle ABC的内心为II关于BC的对称点为KBA延长线与KC延长线交于点D,过B作与CI平行的直线交圆O中劣弧BCEE\neq B),过A作与BC平行的直线与直线BE交于F.证明:若BF=CE,则FK=AD
  2. C为单位圆,z_1z_2\cdotsz_{240}为单位圆上的240个复数(可以相同).满足如下两个条件:
    (1)对任意长为\pi的开弧\Gamma,至多有200z_i(1\leqslant i\leqslant 240)在\Gamma上;
    (2)对任意长为\dfrac{\pi}{3}的开弧\gamma,至多有120z_i(1\leqslant i\leqslant 240)在\gamma上.
    |z_1+z_2+\cdots+z_{240}|的最大值.
  3. A_1A_2\cdotsA_m为有限集Am个子集(可以相同),对任意{1,2,\cdots,m}的子集SA_i(i\in S)的并集元素个数\geqslant |S|+1.证明:可以将A的元素适当染为黑白二色,使得每个A_i(1\leqslant i\leqslant m)既包含黑色元素,又包含白色元素.

第三天

  1. 求所有正整数对(m, n),在m+1条横线与n+1条竖线构成对方格表中,可以对其中对一些方格添加一条对角线(允许不添加,但不能在一个方格内添加两条对角线),使得整个图形可以一笔画并回到起点.
  2. 非直角\triangle ABC满足BC>AC>AB,平面上两个不重合的点P_1P_2使得若AP_iBP_iCP_i分别与三角形的外接圆交于D_iE_iF_i,则有D_i E_i\perp D_i F_i,且D_i E_i=D_i F_i\neq 0,其中i=1, 2.直线P_1 P_2\triangle ABC外接圆交于Q_1Q_2Q_1Q_2关于\triangle ABC的西姆松线交于W
    证明:W\triangle ABC的九点圆上.
  3. a_1a_2\cdotsa_nn个两两互相不整除的正整数,即对任意i\neq ja_i不整除a_j
    证明:a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant 1.1n^2-2n
    注:如果证明了n充分大时的不等式,会适当给分.

第四天

  1. 给定正整数n,求f(x_1, x_2, \cdots, x_n)=\sum\limits_{k_1=0}^{2}\sum\limits_{k_2=0}^{2}\cdots \sum\limits_{k_n=0}^{2}\left|k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n-1\right|的所有最小值点.
  2. 给定正整数nDn的正约数集合,fD\to\mathbb{Z}的映射.证明下面的两个论断等价:
    (A)对n的任意正约数m,有n\Bigm| \sum\limits_{d\mid m}f(d)\binom{n/d}{m/d}
    (B)对n的任意正约数k,有k\Bigm|\sum\limits_{d\mid k}f(d)
  3. 给定正整数mnm\geqslant n\geqslant 2022a_1a_2\cdotsa_nb_1b_2\cdotsb_n2n个实数.证明:使得|a_i+b_j-ij|\leqslant m的正整数对(i, j)\left(1\leqslant i, j\leqslant n\right)的对数不超过3n\sqrt{m\ln n}.